概率论

基本概念与方法

试验和事件

随机试验就是现实中随机现象的理想化处理，满足：
1.可在相同条件下重复进行
2.结果可能不止一个，并且所有结果都可以事先确认
3.但不确定出现哪一个结果

随机事件的关系与运算

A,B,C三个随机事件 A,B,C不多于两个发生：即必有不发生的 A,B,C至少有两个发生： ## 频率与概率 ### 频率 在相同的条件下, 进行了 𝑛 次试验. 在这 𝑛 次试验中, 事件 𝐴 发生的次数 称为事件 𝐴 发生的频数。事件 𝐴 发生的频率定义为 #### 性质 若事件两两不相容，则 ### 概率 设 𝐸 是随机试验, 𝑆 是它的样本空间. 对于 𝐸 的每一个事件 𝐴 赋予一个实数,记为 𝑃 (𝐴), 称为事件 𝐴 的概率。
#### 性质 可列可加性：   ij ##### 性质一  P() = 0 A = P(A) = 0，但P(A) = 0推不出A = 概率为0的事不一定是不可能事件（近似 ##### 性质二  有限可加性 ##### 性质三   若 ##### 性质四  加法公式 推论： 其实就是容斥原理（ ## 1.4 古典概型 ### 定义 有限元素，等可能 实际上, 古典概型中的概率计算通常归结为计数问题。 ### 球与框模型 许多问题都可以转化为这一模型 n个球随机放入N（）个盒子中，求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子容量不限 每一种放法是一个基本事件, 易知这是古典概型. 该问题本质是一个排列问题: 将每一个盒子赋予一个编号 1, . . . , 𝑁, 题述的过程便是给 𝑛 只球赋予 1, . . . , 𝑁 的编号, 等价于从𝑁 的不同元素取 𝑛 个进行排列。 #### 例1 生日悖论 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的, 那么随机选取个人, 他们的生日各不相同的概率为令事件 𝐶 表示“𝑛 个人中存在两人生日相同”, 则 #### 例2 估计 ## 1.5 概率的直觉和理性 袋中有 𝑎 只白球, 𝑏 只黑球. 从中依次取一只球, 求第 𝑘 个人取出白球的概率 𝑝. 解：分类讨论 (1)放回抽样时，(2)不放回抽样时，考虑每种取法为基本事件且等概率出现, 因而为古典概型。该问题本质上是排列问题，令n = a + b 对于样本空间，k次选取共有种排列方法 对于所选取的事件，第k次为白球的选取,根据具体所选取白球的不同一共有a种取法，前k-1次每一种都是从n-1个球种选取k-1个进行排列，排列总数为（先确定最终条件，再看其他的 由古典概型概率公式， 因此，袋中有a只白球，b只黑球，从中依次取出一只球，无论是放回抽样还是不放回抽样，第k个人取出白球的概率均为 针对这一现象，我们对其原因进行讨论，放回抽样给我们的直观感受是每一次机会均等，而不放回则总是会和次数k有关联性，但这里我们会发现他们是一样的。对于概率的很多东西，我们都是不能用直觉一概而论的。 ## 1.6 条件概率 ### 定义 A,B是某随机试验中的两个事件，称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的概率为事件A的条件概率，记为P(A|B)。 ## 1.7 乘法定理 ### 定理 设，则推广到多个事件：设 ### 例题 #### 例一 袋中有一个白球与一个黑球, 现每次从中取出一球, 若为白球, 则除把白球放 回外再加进一个白球, 直至取出黑球为止。求取了 𝑛 次都未取出黑球的概率。 解：令为事件第i次取出白球，则所求概率为，由乘法公式得： 由条件概率的直观解释，每一项代表当事件发生时，袋中有i个白球，1个黑球，共计i+1个球，故发生的概率为，则 本例题计算结果事实上是与直觉思维有差别的。直觉上会觉得，白球越来越多，取到白球的可能性应该越来越大，但事实上却是逐渐减小的，问题出在哪呢？我们对于最终概率的计算，不仅要考虑最终取出白球的概率，还要考虑白球数目一直在增加，最后数目远大于黑球的概率（也就是前面一直摸白的）。直觉思维中我们很容易忽略后者。 ## 全概率公式 ### 定理 设S为试验E的样本空间，A为E的事件，为S的划分且则 ### 解读 对于使用全概率公式计算复杂事件的概率： 把事件A看为过程的结果，看作过程的若干原因； 根据历史资料/已知条件，每一原因发生的概率得知，进而得出每一原因对结果的影响程度； 最终由全概率公式求得结果发生的概率。 ## 贝叶斯公式 之前的几个公式，条件概率，乘法公式和全概率公式都是由因求果，而贝叶斯公式则是执果索因

随机变量的分布

重要分布

常见分布的期望和方差

几何分布

第几次试验中，事件才首次发生。特点：无积极性。
例一：
在某些网络中，数据链路层通过请求重新传输损坏的帧来处理传输错误。如果一个帧被损坏的概率是 p，发送一个帧所需的平均传输次数是多少？假设发送方发送的确认消息将始终被接收方正确接收。
鉴定为几何分布，则 例二：
一间房间有三扇同样大小的窗子，其中有一扇是打开的，有一只鸟自开着的窗子飞进房间，它只能从开着的窗子飞出去。假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的。以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。
鉴定为几何分布，则

附录